Archi-Civil archi-civil.com
Yapı Sağlığı İzleme · SHM-06  |  Güven seviyesi: A (analitik özelliklerle doğrulanmış)
Bu belge archi-civil.com üzerinde yayımlanan yazının çıktısıdır. Sayılar engine/shm.js tarafından üretilir ve tests/shm.test.js ile denetlenir.

Ana Sayfa / Yazılar / Yapı Sağlığı İzleme SHM-06

MAC, COMAC ve Frekans Kayması: Üç Gösterge Neden Birlikte Okunur

Modal korelasyon göstergelerinin tanımı, türetilmesi ve — asıl önemlisi — neyi göremedikleri. Gerçek bir binanın deprem öncesi ve sonrası mod verisi üzerinde, üç göstergenin üç farklı cevap verdiği bir vaka.

Güven: A analitik özelliklerle doğrulanmış Motor: engine/shm.js Test: tests/shm.test.js — 29/29 Okuma: ~14 dk Son doğrulama: 2026-09-10Düzeltme: bkz. SHM-03
Düzeltme — 10.09.2026 Bu yazının 6. ve 7. bölümlerinde frekans düşüşleri rijitlik kaybının göstergesi olarak sunulmuştu. Aynı binanın on dört ayrı deprem kaydı sonradan elde edildi ve olaydan olaya doğal saçılım ölçüldü. Sonuç: birinci mod kaymaları bu saçılımın içinde kalıyor ve tek başına hasar kanıtı sayılamaz. Yalnızca EW ikinci moddaki düşüş saçılımın belirgin biçimde üzerinde. Ayrıntı ve sayılar için SHM-03.

Yazının COMAC bölümü bu düzeltmeden etkilenmiyor: iki bağımsız doğrultunun aynı katı işaret etmesi, tek bir skaler kaymanın taşıyamayacağı bir kanıt türüdür ve bu yazının asıl sonucu zaten oydu.

1. Sorunun kuruluşu: neyi ölçüyoruz?

Bir yapıya ivmeölçer yerleştirip titreşimini kaydettiğimizde elde ettiğimiz şey, o yapının modal parametreleridir: doğal frekanslar, mod şekilleri ve sönüm oranları. Bunlar yapının kütle ve rijitlik dağılımının bir imzasıdır. Rijitlik değişirse imza da değişir.

Yapı sağlığı izlemenin temel önermesi buradan çıkar: iki farklı zamanda ölçülen modal parametreleri karşılaştırırsak, aradaki değişimden yapıdaki değişimi okuyabiliriz. Kulağa basit gelir, ama pratikte üç ayrı soruyu birbirine karıştırmak çok kolaydır:

Bu üç soru farklıdır ve cevapları birbirinden bağımsız olarak "hayır" çıkabilir. Yazının sonunda göreceğimiz gerçek vakada tam olarak bu olur: MAC hiçbir şey olmadığını söylerken frekans belirgin bir rijitlik kaybına işaret eder.

2. MAC — Modal Güvence Kriteri

MAC, iki mod şekli vektörü arasındaki normalleştirilmiş korelasyondur. Allemang ve Brown tarafından 1982'de tanımlanmıştır:

MAC(i, j) = |φAiT φBj|² ⁄ [ (φAiTφAi) · (φBjTφBj) ] φAi: A durumunun i. mod şekli vektörü  ·  φBj: B durumunun j. mod şekli vektörü. Her ikisi de aynı ölçüm noktalarında tanımlı olmalıdır.

Pay, iki vektörün iç çarpımının karesidir; payda ise her iki vektörün kendi normlarının çarpımıdır. Bu, Cauchy–Schwarz eşitsizliği gereği sonucu 0 ile 1 arasına hapseder. 1 tam örtüşme, 0 ise diklik demektir.

Pratikte MAC bir matris olarak hesaplanır: A durumunun her modu, B durumunun her moduyla karşılaştırılır. Köşegen elemanlar aynı sıradaki modların örtüşmesini, köşegen dışı elemanlar ise modlar arası karışmayı gösterir.

Neden matris? Ölçülen modlar iki kurulum arasında sıra değiştirebilir. İki yakın frekanslı mod varsa, ikinci ölçümde hangisinin "1. mod" olarak çıkacağı garanti değildir. Modları indise göre eşleştirmek bu yüzden sessiz bir hata kaynağıdır; eşleştirme MAC matrisinin en büyük elemanına göre yapılmalıdır. Motorumuzdaki pairModes() bunu yapar ve iki aday arasındaki fark 0,1'in altındaysa eşleştirmeyi belirsiz olarak işaretler.

3. MAC'ın kör noktası: ölçek bağımsızlığı

MAC'ın paydası, sonucu her iki vektörün normuna böler. Bunun doğrudan sonucu şudur: MAC ölçekten bağımsızdır. φ ile 1000·φ arasındaki MAC tam olarak 1'dir. Hatta −φ ile φ arasındaki MAC da 1'dir, çünkü pay karesi alınır.

Bu bir kusur değil, kasıtlı bir tasarımdır: ölçülen bir mod şeklinin mutlak genliği yoktur, ölçüm zincirinin kazancına bağlıdır. MAC'ın bunu göz ardı etmesi gerekir.

Sonucu Ölçek bağımsızlığının bedeli şudur: MAC, yapının her yerinde eşit oranda gerçekleşen bir değişimi göremez. Bütün katlarda rijitlik aynı oranda düşerse mod şekli aynı kalır ve MAC 1 çıkar — oysa yapı belirgin biçimde yumuşamıştır. MAC "hiçbir şey olmamış" demez; "şekil değişmemiş" der. Bu ikisi aynı şey değildir.

4. COMAC — değişim nerede oldu?

MAC bir mod çifti için tek bir sayı verir; hangi bölgede ayrıştıklarını söylemez. Lieven ve Ewins 1988'de bu soruyu tersine çevirdi: toplamayı modlar üzerinden yaparsak, sonuç koordinat başına bir değer olur.

COMAC(k) = [ Σr |φAk(r) · φBk(r)| ]² ⁄ [ Σr (φAk(r))² · Σr (φBk(r))² ] k: düğüm (ölçüm noktası) indisi  ·  r: mod indisi, eşleştirilmiş modlar üzerinden toplanır. Sonuç yine 0–1 aralığındadır.

Hasar haritalaması 1 − COMAC üzerinden okunur: bu değerin büyüdüğü koordinat, mod şekillerinin en çok ayrıştığı noktadır.

COMAC'ın kendi kör noktası Formüldeki mutlak değer nedeniyle, bir düğümde yalnızca işaret değişirse COMAC bunu göremez. Genlik aynı kalıp yön dönerse COMAC yine 1 verir. Bu sınırlamayı bu yazıyı hazırlarken kendi test vakamızın düşmesiyle fark ettik: vakayı işaret değişimi üzerine kurmuştuk, motor doğru davranıyordu, test yanlıştı. Sınırlamayı artık ayrı bir test vakası olarak tutuyoruz.

5. Frekans kayması ve rijitlik çıkarımı

Doğal frekans, kütle ve rijitliğin oranına bağlıdır: ω = √(k/m). Kütle değişmediyse, iki ölçüm arasındaki frekans oranından rijitlik oranı çıkarılabilir:

Δk ⁄ k ≈ (fsonra ⁄ fönce)² − 1 Türetme evrenseldir, hiçbir ülke yönetmeliğine ait değildir. Örnek: frekansta %10 düşüş, %19 rijitlik kaybı anlamına gelir — ilişki karesel olduğu için frekanstaki küçük bir düşüş rijitlikte yaklaşık iki katı bir düşüşe karşılık gelir.
Varsayımı sonuçtan ayırmayın Bu çıkarım yalnızca kütle değişmediyse geçerlidir. Ayrıca sıcaklık, nem ve taşıyıcı olmayan kütle değişimleri de frekansı kaydırır; gerçek binalarda mevsimsel salınım hafif hasarla karşılaştırılabilir büyüklüğe ulaşabilir. Bu yüzden frekans kayması tek başına hasar kanıtı değildir ve konumsal bir göstergeyle birlikte okunmalıdır. Motorumuz bu varsayımı ve uyarıyı sonucun içinde taşır, ayrı bir dipnota bırakmaz.

6. Uygulama: Robert B. Atwood Binası

Aşağıdaki sayıların hiçbiri bu sayfaya elle yazılmamıştır. Veri data/shm/atwood-modal.json dosyasından okunur, hesap engine/shm.js tarafından yapılır ve sonuçlar sayfa açılırken üretilir. Aynı sayılar tests/shm.test.js içinde ayrıca sabitlenmiştir; motor değişirse test kırılır.

Veri seti 20 serbestlik dereceli kalibre edilmiş bir kesme kirişi modeline aittir. Sekiz katta ölçüm vardır (—), her yönde üç mod belirlenmiştir ve olay öncesi (PRE) ile sonrası (POST) durumlar ayrı ayrı kaydedilmiştir.

6.1 Frekanslar

YönModÖnce (Hz)Sonra (Hz)DeğişimÇıkarılan Δk/k
hesaplanıyor…
 Frekanslar her iki yönde ve her üç modda düşmüştür. En büyük kayma iki yönde de 2. moddadır — bu, değişimin yapı boyunca düzgün dağılmadığının ilk işaretidir.

6.2 MAC

YönMod 1Mod 2Mod 3Eşleştirme
hesaplanıyor…
 MAC köşegen değerleri. Modlar sıra değiştirmemiştir ve hiçbir eşleştirme belirsiz değildir.

6.3 COMAC

Kat1 − COMAC (NS)1 − COMAC (EW)
hesaplanıyor…
 Hasar göstergesi. İki yön birbirinden bağımsız ölçümlerdir; aynı katı işaret etmeleri sonucu tesadüf olmaktan çıkarır.

7. Üç göstergenin üç ayrı cevabı

Vakanın özetihesaplanıyor…

Bu tablo, yazının başındaki iddianın somut hâlidir. Yalnızca MAC'a bakan bir mühendis "mod şekilleri neredeyse hiç değişmemiş, yapı sağlam" sonucuna varırdı. Yalnızca frekansa bakan bir mühendis rijitlik kaybını görür ama nerede olduğunu bilemezdi. COMAC ise tek başına, kaybın büyüklüğü hakkında bir şey söylemez.

Üçü birlikte okunduğunda ortaya tutarlı bir tablo çıkar: şekli belirgin biçimde bozmayan, ama rijitliği düşüren, belirli bir kat civarında yoğunlaşmış bir değişim. Bu, yapı genelinde yayılı bir yumuşamaya (örneğin dolgu duvar çatlakları) ve o kat civarında daha belirgin bir yerel etkiye işaret eden bir imzadır.

Ne dememeliyiz Bu sonuç "7. katta hasar vardır" demek değildir. Modal göstergeler hasarın kendisini değil, modal parametrelerdeki değişimi ölçer. Söyleyebileceğimiz şey şudur: değişim istatistiksel olarak anlamlıdır, iki bağımsız yönde aynı konumu işaret etmektedir ve o bölgede yerinde inceleme yapılmasını gerektirir. Modal izleme bir teşhis aracı değil, bir yönlendirme aracıdır.

8. Yaygın hatalar

  1. Modları indise göre eşleştirmek. İki ölçüm arasında mod sırası değişebilir. MAC matrisinin köşegenine bakmadan önce eşleştirmenin doğru olduğu gösterilmelidir.
  2. MAC ≈ 1'i "hasar yok" diye okumak. MAC yalnızca şekil hakkında konuşur ve ölçekten bağımsızdır. Düzgün yayılı bir rijitlik kaybını göremez.
  3. Frekans kaymasını doğrudan hasara çevirmek. Kütle sabitliği varsayımı belirtilmeden yapılan Δk/k çıkarımı eksiktir. Sıcaklık etkisi ayrıca elenmelidir.
  4. COMAC'ı eşleştirilmemiş modlarla hesaplamak. COMAC, modların önceden eşleştirilmiş olduğunu varsayar. Eşleştirme yanlışsa çıkan harita anlamsızdır.
  5. Farklı ölçüm noktası kümelerini karşılaştırmak. MAC ve COMAC aynı düğümlerde tanımlıdır. İki kurulumda sensör konumları farklıysa önce ortak alt kümeye indirgenmelidir; motorumuz farklı satır sayısını reddeder.
  6. Tek bir göstergeye dayanarak karar vermek. Bu yazının bütün konusu budur.

9. Kendini sınama

  1. Bir mod şekli vektörünü 3 ile çarparsanız MAC nasıl değişir? Peki COMAC?
  2. Bütün katlarda rijitlik %10 azalırsa MAC ne verir? Frekanslar ne yapar? Bu iki cevabı nasıl uzlaştırırsınız?
  3. Frekansta %5 düşüş kaç yüzde rijitlik kaybına karşılık gelir? Bu ilişki neden doğrusal değildir?
  4. COMAC bir düğümde 0,5 çıktı. Bu, o düğümde hasar olduğunu kanıtlar mı? Neden?
  5. İki ölçüm arasında bina içindeki ağır bir depo boşaltılmış olsun. Hangi gösterge yanıltıcı hâle gelir?

Kaynaklar

  1. Allemang, R.J. & Brown, D.L. (1982). A correlation coefficient for modal vector analysis. Proc. 1st International Modal Analysis Conference, 110–116.
  2. Allemang, R.J. (2003). The Modal Assurance Criterion — Twenty Years of Use and Abuse. Sound and Vibration, 37(8), 14–23.
  3. Lieven, N.A.J. & Ewins, D.J. (1988). Spatial Correlation of Mode Shapes — The Coordinate Modal Assurance Criterion (COMAC). Proc. 6th International Modal Analysis Conference, Kissimmee, Florida, 690–695.
  4. Veri seti: Osman Turgut Topbaş, Robert B. Atwood Binası 20 serbestlik dereceli kalibre edilmiş kesme kirişi modeli, KTÜ Fen Bilimleri Enstitüsü, Yapı Sağlığı İzlemesi dönem sonu projesi. Veri sahibinin izniyle yayımlanmıştır.

MAC ve COMAC tanımları yukarıdaki yayınlara aittir; bu sayfadaki uygulama, yayımlanmış formüllerin kendi kodumuzla yazılmış hâlidir. Doğrulama üçüncü taraf bir çıktıyla karşılaştırma yoluyla değil, göstergelerin kendi analitik özellikleriyle yapılmıştır: MAC(φ,φ) = 1, ölçek değişmezliği, diklikte 0, COMAC ∈ [0,1] ve aynı iki sette her koordinatta 1.

Hesap aracını aç → Yapı Sağlığı İzleme araçları → Read in English → Bütün yazılar →
archi-civil.com — MAC, COMAC ve Frekans Kayması · SHM-06 · Güven seviyesi A · Çıktı tarihi:
Bu belge mühendislik eğitimi ve yönlendirme amaçlıdır. Modal göstergeler hasarı teşhis etmez; yerinde incelemeyi yönlendirir.